مجله بین المللی نظریه گروه ها
سال:1392 | دوره:2 | شماره:2 |تعداد مقالات:7

تعداد تجزیه های یک گروه آبلی متناهی به صورت حاصلضرب دو زیرگروه، به دو روش مختلف محاسبه و یک اتحاد ترکیبیاتی که متضمن ضرایب دو جمله ای گاوسی، نمایش داده شده است.

یک گروه متناهی G را باسط مزدوجی نامیم هرگاه برای هر زیر مجموعه نرمال S و هر رده مزدوجی C از G، تعداد رده های مزدوجی از G در زیرمجموعه نرمال SC حداقل همان تعداد رده های مزدوجی از G در S است. هالاس، ماروتی، سیدکی و بزرا ثابت کرده اند که یک گروه باسط مزدوجی است اگر و فقط اگر حاصلضرب مستقیم گروه های ساده یا آبلی که باسط مزدوجی هستند، باشد.با در نظر گرفتن یک مشابه سرشتی از مساله فوق، یک گروه متناهی را باسط سرشتی نامیم هرگاه برای هر سرشت مختلط a و هر سرشت تحویل ناپذیر c از G، سرشت ac حداقل به همان تعدادی که a دارای جزء تحویل ناپذیر (به احتساب تکرر آنها) است، سرشت ac نیز دارای جزء تحویل ناپذیر باشد. در این مقاله، قدم های اولیه برای تعیین گروه های باسط سرشتی را بر می داریم.

فرض کنید G یک گروه متناهی و N یک زیرگروه نرمال G باشد. فرض کنید Irr(G|N) مجموعه تمام سرشت های تحویل ناپذیر G باشد که هسته آنها شامل N است. در این مقاله، گروه های حلپذیر G که برای آنها مجموعه  C(G)={Irr(G│N)|1≠N⊴G}حداکثر سه عضو داشته باشد را طبقه بندی می کنیم. همچنین مجموعه C(G) را برای چنین گروه هایی محاسبه می کنیم.

در این مقاله نتایجی را در مورد زیرگروهی که تعمیم زیرگروه R2⨂ (G)={a∈G |[a,g]⨂g=1⨂, ∀ g∈G} متشکل از عناصر ⨂2-انگل راست از یک گروه داده شده G است را ارایه می کنیم. اگر p یک عدد اول فرد باشد، با استفاده از این نتایج، نتایجی را در مورد مربع تنسوری -pگروه هایی که در قانون [x,g,y]⨂g=1⨂ برای هر x,g,y∈G صادق هستند را بدست می آوریم. به ویژه ثابت می کنیم -pگروه هایی که در قانون [x,g,y]⨂g=1⨂ صادق هستند دارای مربع تنسوری آبلی است. علاوه بر این، مربع تنسوری -pگروه های دو مولده از رده پوچتوانی سه که در قانون [x,g,y]⨂g=1⨂ صدق می کنند را تعیین می کنیم.

فرض کنید G یک گروه متناهی باشد. عدد ∑(g∈G) o(g) را با Y(G) نمایش می دهیم، جایی که o(g) مرتبه عنصر g∈G را نمایش می دهد. در اینجا ثابت می کنیم کهY(A5)<Y(G)  برای هر گروه غیر ساده G از مرتبه 60، جایی که A5 گروه متناوب از درجه 5 است. همچنین ثابت می کنیم Y(PSL(2,7))<Y(G) برای تمام گروه های غیرساده G از مرتبه 168. این دو نتیجه، حدس مطرح شده در [J. Algebra Appl., 10, No. 2 (2011) 187-190] را برای گروه های ساده A5 و PSL (2, 7) تایید می کند.

سه خانواده نامتناهی از گروه های آبلی متناهی توصیف می شوند به طوری که هر عضو از این خانواده ها دارای -kخاصیت ردی برای تعداد زیادی مقدار غیر بدیهی از k است.

گراف ناجابه جایی ∇(G) از یک گروه نا آبلی G به صورت زیر تعریف می شود: مجموعه رئوس آن G-Z(G) است و دو راس متمایز c و y توسط یک یال به هم وصل هستند اگر و فقط اگر جا به جاگر c و y همانی نباشد. در این مقاله ثابت می کنیم اگر G یک گروه متناهی با شرط ∇(G)≅∇(Sn) باشد، آنگاه G≅Sn، جایی که Sn گروه متقارن از درجه n و n عددی طبیعی است.